0 - Índice de secciones

1 - Enlaces de Interés
1.1 - http://tallerdemateprofe.blogspot.com/

2 - Grandes Matemáticos
2.1 - Georg Cantor. Teoría de conjuntos

3 - Videos Matemáticos

4 - Matemáticas: Juegos, Diversiones y Curiosidades

5 - Libros de Matemáticas
5.1 El hombre que calculaba

6 - Geometría
6.1 - Poliedros. Sólidos Platónicos
6.2 - Fractales

7 - Hojas de Problemas
7.1 - Hoja de Problemas 1.2
7.2 - Hoja de Problemas 1.3
7.3 - Hoja de Problemas 2.1


8 - Matemáticas y Arte
8.1 - Maurits Cornelis Escher
8.2 - Aleksandr Ródchenko
8.3 - Mosaicos y Teselaciones. Hueso Nazarí


9 - Matemáticas y Tecnología
9.1 - Telecomunicaciones
TCP/IP, , HTTP, HTML
Vinton Cerf, Tim Berners-Lee

10 - Números Exstraordinarios
10.1 - El Número de Oro φ (fi)
Relación con la serie de Fibonacci
El número áureo en la Naturaleza
El número áureo en el ser humano
El número áureo en el Arte
El número áureo en la Música

10.2 - El Número π (pi)
10.3 - El Número e

Conjetura de Goldbach http://iesmadridsurdani.blogspot.com/2009/05/4-matematicas-juegos-diversiones-y.html

El número de las diferentes maneras en las que se puede expresar un número par n como la suma de dos números primos (4 ≤ n ≤ 1,000,000).La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas. Su enunciado es el siguiente:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

(Se puede emplear dos veces el mismo número primo)

Esta conjetura había sido conocida por Descartes. La siguiente afirmación es equivalente a la anterior y es la que se conjeturó originalmente en una carta de Goldbach a Euler en 1742:

Todo número entero mayor que 5 se puede escribir como suma de tres primos.
Esta conjetura ha sido investigada por muchos teóricos de números y ha sido comprobada por ordenadores para todos los números pares menores que 2×1016. La mayor parte de los matemáticos cree que la conjetura es cierta, y se basan mayormente en las consideraciones estadísticas sobre la distribución probabilística de los números primos en el conjunto de los números naturales: cuanto mayor sea el número entero par, se hace más "probable" que pueda ser escrito como suma de dos números primos.

Sabemos que todo número par puede escribirse de forma mínima como suma de a lo más seis números primos. Como consecuencia de un trabajo de Vinogradov, todo número par lo bastante grande puede escribirse como suma de a lo más cuatro números primos. Además, Vinogradov demostró que casi todos los números pares pueden escribirse como suma de dos números primos (en el sentido de que la proporción de números pares que pueden escribirse de dicha forma tiende a 1). En 1966, Chen Jing-run mostró que todo número par lo bastante grande puede escribirse como suma de un primo y un número que tiene a lo más dos factores primos.

Con el fin de generar publicidad para el libro El tío Petros y la conjetura de Goldbach de Apostolos Doxiadis, el editor británico Tony Faber ofreció en 2000 un premio de un millón de dólares a aquel angloparlante que demostrase la conjetura antes de abril de 2002. Nadie reclamó el premio.

Goldbach formuló dos conjeturas relacionadas entre sí sobre la suma de números primos: la conjetura 'fuerte' de Goldbach y la conjetura 'débil' de Goldbach. La que se discute aquí es la fuerte, y la que se suele mencionar como "conjetura de Goldbach" a secas.

5.1 El hombre que calculaba http://http://iesmadridsurdani.blogspot.com/2009/05/el-hombre-que-calculaba.html
EL HOMBRE QUE CALCULABA.

Un hombre que iba camino a Bagdad se encuentra con un hombre que repetía constantemente el numero un millón cuatrocientos veinte tres mil setecientos cuarenta y cinco, el hombre intrigado preguntó él porque de la repetición de este numero y el hombre le comenzó a contar su historia que comenzó cuando trabajaba con un rebaño de ovejas y que mientras pastoreaba podía contar cada cosa que miraba en su camino y al ver este su habilidad para los números decidió dedicarse a ser un calculados. El nombre de este personaje era BEREMIZ SAMIR.
Beremiz tuvo numerosas aventuras como por ejemplo cuando viajaba se encontró con un grupo de hombres que discutían acerca de la repartición de la herencia que su padre había dejado pero eran 35 camellos entre tres personas y este calculo que era imposible Beremiz dejo satisfecho a los tres f}hombres. Otra vez mientras viajaba se encontró a los hombres mas ricos de Bagdad llamado Salem Nasair a quien le habían robado sus pertenencias y habían matado a sus esclavos y a quien Beremiz dio de comer durante todo el camino y al llegar a Bagdad encontraron a Ibrahim quien le dio dinero para que pagara a Beremiz pero Beremiz encontró un error en la repartición del dinero y rectifico la operación dejando impactados a todos, de esta misma manera resuelve el caso de un de un joyero que debía recibir cierta comisión por ventas. Entre sus aventuras Beremiz se encuentra nuevamente con Salem Nasair y ambos comentan con sus amigos las diversas formas geométricas que podemos encontrar en las cosas.
Acudieron un día unos hombres a quienes se les tenia que pagar para poder salvar un hostal pero al momento de realizar las reparticiones de los bienes que le correspondían a cada una de las personas la operación era ilógica, pero Beremiz ayudo a resolver este problema dejando impactados a los dueños del Hostal.
Cada Una de las hazañas de Beremiz nos muestran que todo lo que hacemos tiene solución, lo único es que debemos poner un poco mas de atención a las cosas que tenemos a nuestro alrededor, para pode resolver nuestro problemas de una manera correcta. Beremiz inicia a impartirle clases de matemáticas y aritmética a Telasir, y le explica que las matemáticas son la base de todas las ciencias en el palacio de Iezid.
Al salir del palacio de Iezid Beremiz le presta gran atención a una cuerda con la que jugaban unos niños y decide examinar los lados y formas de la cuerda.
Luego de examinar la cuerda examina las paredes del palacio y los versos que en este se encontraban esculpidos en el y dice que “ toda persona calcula no importando a que se dedique, puede ser un pintor,, un calculador Etc.,” y al ser elogiado por sus amigos este asocia el significado de la amistad con el concepto de los números amigos, que son aquellos que están ligados por un vinculo como por ejemplo su divisibilidad, y el mensaje que da es: El encanto de la vida depende únicamente de las buenas amistades que cultivamos.
En ese mismo palacio luego de tratar el tema de la interpretación de los versos escritos en las paredes, al salón en donde se encontraba Beremiz entraron unas bailarinas gemelas, a las cuales Beremiz les contó los paletones de sus faldas, entonces hicieron que dejaran de bailar para poder comprobar que Beremiz decía lo correcto, y así fue, y uno de los invitados de la reunión quiso hacer quedar mal a Beremiz diciendo que solamente perdía su tiempo, por que lo que hacia era absurdo, entonces Beremiz le explicó el verdadero significado de las matemáticas diciéndole que las matemáticas tenían como objetivo resolver los problemas, calcular áreas, medir volúmenes, y otras finalidades mas elevadas.
Beremiz descubre el misterio de el cuadro mágico buscándole nuevas soluciones y no quedándose conforme con la solución original, y basándose del cuadro mágico le comenta a sus amigos la historia del ajedrez que se trataba acerca de un rey que en la guerra de su país matan a su hijo y quedando desconsolado, un habitante del pueblo le regala un juego con el cual puede desquitarse y consolarse a la vez, el rey encantado con los resultados del juego le ruega que le pida lo que quiera que el se lo dará entonces el habitante del pueblo le pidió un grano de trigo por la primera casilla del ajedrez dos para la segunda, cuatro para la tercera, ocho para la cuarta y así doblando sucesivamente hasta la sexagésima y ultima casilla del tablero, el rey impactado por su extraña petición le pidió a un calculador que le interpretara la petición y este le dijo que quería decir que lo que el deseaba era una montaña rellena de trigo diez veces mas alta que los montes Himalayas, el rey molesto por semejante petición lo convencido de que pidiera otra cosa m{as sencilla, entonces el habitante del pueblo le respondió que infeliz es aquel que toma sobre sus hombros el compromiso de una deuda cuya magnitud no puede valorar con la tabla de calculo de sus propia inteligencia, esto quiere decir que uno muchas veces al querer exagerar las cosas no mide la magnitud de las cosas que uno dice.
Un día Beremiz fue a un café en donde había un hombre que se dedicaba a relatar historias y al reconocer a Beremiz el calculador decidió ponerlo a prueba poniéndole un problema matemático que pensó que no lo iba a poder resolver, entonces Beremiz con su gran inteligencia procedió a la resolución del problema donde la respuesta de Beremiz era verídica, de esa manera dejó imputadas a las personas del café que le daban numerosos elogios por gran inteligencia, entonces Beremiz humildemente les contesto: Que una persona es loca cuando se considera sabio y realmente es ignorante, y aconteció a relatarles la historia de una hormiga que de una montaña de azúcar tomo un granito y al llegar a su hormiguero dijo que era un montaña de azúcar, esto se aplica a que uno muchas veces nos apoderamos de insignificantes pedazos de cosas.
Unos egipcios reconocieron a Beremiz e intentaron nuevamente hacerlo quedar mal preguntándole acerca de los descubrimientos de la matemática hindú, pero Beremiz le contesto que uno de los aportes de la matemática hindú lo podían encontrar en una obra llamada Suba-sutra que contenía numerosas enseñanzas matemáticas, y una de las explicaciones que les dio fue que un triángulo rectángulo podemos hallar dos catetos y una hipotenusa y sobre estos encontramos un cuadrado exacto que al operar su área dan la medida de la figura.
La segunda clase de matemática de Talesir se trato acerca de los diferentes sistemas de numeración como lo era el sistema quinario que era cuando las unidades se agrupaban de cinco en cinco, otro de los sistemas fue el romano en donde los números estaban representados por las letras como la L era cincuenta, C era Cien, d era quinientos y M Mil.

En la prisión de Korassan sucedió una gran tragedia, se incendió la cárcel y los prisioneros sufrieron mucho en ese momento y los encargados de la cárcel decidieron disminuir las sentencias de los presos a la mitad de los años que vivieran, pero eso iba a ser muy difícil, porque ellos no sabían cuanto iba a vivir cada uno de los presos; entonces llamaron a Beremiz para que pudiera resolver este problema y lo resolvió por medio de una ecuación.
El príncipe Clusir visitó la ciudad de Bagdad para poder conocer a Beremiz y poder comprobar su inteligencia, Beremiz lo atendió con bastante entusiasmo y orgullo. El príncipe le dió el caso de las perlas que un señor le había heredado a sus hijas y le pidió a Beremiz que resolviera el misterio de cómo había repartido las perlas.
Luego un hombre llamado Tara-Tir buscaba a Beremiz para jugarle una celada, Beremiz no se daba cuenta de lo que le quería hacer, y del peligro que corría, hasta que le comentaron y comenzó a preocuparse por el daño que le podían hacer.
Beremiz fue citado nuevamente en el palacio para platicar con algunos sabios, pero su temor le daba inseguridad, uno de los sabios lo probó haciéndole una pregunta que no era de matemáticas, sino de cultura general y Beremiz la contestó correcta. Otro sabio le preguntó que quién había sido el geometría que se suicidó al mirar al cielo, y Beremiz les dijo que había sido Eratóstenes y les contó la historia. Luego Beremiz les narra una historia del un Chacal y un Tigre que se querían repartir tres bocados de comida, explicándoles que había dividido los tres bocados entre los dos animales y la historia fue aprobada por los sabios.
Después otra de las historias comentadas por Beremiz fue la de la princesa Dahizé y sus tres prometidos de los cuales debía escoger al más inteligente. La manera era haciéndoles diversas pruebas de lógica las cuáles se las explicó Beremiz, y también fue aprobada. Uno de los sabios con los que comentaba problemas de lógica y matemáticas le dijo que les explicara un problema que se trataba de ocho perlas de las cuales una de estas era más pesada que las
demás; Beremiz haciendo un razonamiento lógico halló la respuesta correcta y los sabios lo halagaron con un bello poema.
Los sabios le ofrecieron oro y plata para recompensar la sabiduría del calculador pero él no quiso esa oferta, sino el quería casarse con Telassim, la hija del jeque Iezid. Entonces le ofrecieron mejor a dos esclavas, porque no le podían dar a Telassim, pero las esclavas eran mentirosas y para probarlo Beremiz le pregunta a una de ellas el color de sus ojos y mintió, al preguntarle a la otra también mintió; pero Beremiz con un razonamiento adivinó el color de los ojos de las esclavas.
El jeque Iezid muere en un combate contra los Mongoles. La ciudad de Bagdad es destruida y ahora sólo quedan ruinas. Beremiz se casa con Telassim y se entera que Telassim es cristiana; Beremiz decide dejar las creencias de Mahoma y decide seguir a Cristo con su esposa e hijos.

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9.1 - Telecomunicaciones http://http://iesmadridsurdani.blogspot.com/2009_04_01_archive.html
Vinton Cerf
Vinton 'Vint' G. Cerf. científico de la computación estadounidense, considerado como uno de los 'padres' de Internet. Nacido en Connecticut (Estados Unidos) en 1943, se graduó en Matemáticas y Ciencias de la Computación en la universidad de Stanford (1965). Durante su estancia posterior en la Universidad de California (UCLA) obtuvo el Máster en Ciencia y el Doctorado.A principios de los años 70 comenzó a trabajar con Robert Kahn en el desarrollo de un conjunto de protocolos de comunicaciones para la red militar ARPANET financiado por la agencia gubernamental DARPA. El objetivo era crear una "red de redes" que permitiera interconectar las distintas redes del Departamento de Defensa norteamericano, todas ellas de diferente tipo y funcionando sobre diferentes sistemas operativos, con independencia del tipo de conexión: radioenlaces, satélites y líneas telefónicas.Las investigaciones, lideradas por Vinton Cerf, primero desde la Universidad de California (1967-1972) y posteriormente desde la Universidad de Stanford (1972-1976), llevaron al diseño del conjunto de protocolos que hoy son conocidos como TCP/IP (Transmission Control Protocol/Internet Protocol), que fue presentado por Vinton Cerf y Robert Kahn en 1972).Entre 1976 y 1982, trabajando en DARPA, fue pionero en el desarrollo de la transmisión por radio y satélite de paquetes, responsable del proyecto Internet y del programa de investigación de seguridad en la red. Siempre preocupado por los problemas de conexión de redes, Cerf estableció en 1979 la Internet Configurarion Control Board (que posteriormente se denominó Internet Activities Board) y fue su primer presidente.Entre 1982 y 1986, Cerf diseñó el MCI MAIL, primer servicio comercial de correo electrónico que se conectaría a Internet.En 1992 fue uno de los fundadores de la Internet Society y su primer presidente.


Tim Berners-Lee
Sir Timothy "Tim" John Berners-Lee, OM, KBE (TimBL o TBL) nació el 8 de junio de 1955 en Londres, Reino Unido, se licenció en Física en 1976 en el Queen's College de la Universidad de Oxford. Es considerado como el padre de la web.
Básicamente, Tim, ante la necesidad de distribuir e intercambiar información acerca de sus investigaciones de una manera más efectiva, desarrolló las ideas que forman parte de la web. Tim y su grupo desarrollaron lo que por sus siglas en inglés se denominan: Lenguaje HTML (HyperText Markup Language) o lenguaje de etiquetas de hipertexto; el protocolo HTTP (HyperText Transfer Protocol); y el sistema de localización de objetos en la web URL (Uniform Resource Locator). Muchas de las ideas plasmadas por Berners-Lee podemos encontrarlas en el proyecto Xanadu que propuso Ted Nelson y el memex de Vannevar Bush.
Sus padres eran matemáticos y formaron parte del equipo que construyó el Manchester Mark I (uno de los primeros ordenadores) en la Universidad de Manchester en 1949. Berners-Lee estudió en el Sheen Mount Primary School (que le ha dedicado una nueva sala en su honor) para continuar sus estudios en el Emanuel School en Wandsworth.Es un ex alumno de The Queen’s College, Oxford donde él jugaba al tenis de mesa contra sus rivales de Cambridge. Durante el tiempo que estuvo en la universidad, construyó un ordenador con una soldadora de hierro, circuitos TTL, un procesador Motorola 68000 y una televisión vieja. Se graduó en física en 1976.Conoció a su primera esposa en su estancia en Oxford y se casó con ella poco después de que ellos empezaran a trabajar en Plessey Telecommunications Limited (Poole) como programadores. En 1978, trabajó en D.G. Nash Limited (también en Poole) donde escribió un sistema operativo.En 2001, se convirtió un patrón del East Dorset Heritage Trust para lo que tuvo que irse a vivir a Colehill en Wimborne, Inglaterra.En diciembre de 2004 aceptó un puesto en informática en la escuela de electrónica e informática de la Universidad de Southampton, UK, para trabajar en su nuevo y actual proyecto la Web semántica.


HTML
HTML, siglas de HyperText Markup Language (Lenguaje de Marcas de Hipertexto), es el lenguaje de marcado predominante para la construcción de páginas web. Es usado para describir la estructura y el contenido en forma de texto, así como para complementar el texto con objetos tales como imágenes. HTML se escribe en forma de "etiquetas", rodeadas por corchetes angulares (<,>). HTML también puede describir, hasta un cierto punto, la apariencia de un documento, y puede incluir un script (por ejemplo Javascript), el cual puede afectar el comportamiento de navegadores web y otros procesadores de HTML.HTML también es usado para referirse al contenido del tipo de MIME text/html o todavía más ampliamente como un término genérico para el HTML, ya sea en forma descendida del XML (como XHTML 1.0 y posteriores) o en forma descendida directamente de SGML (como HTML 4.01 y anteriores).La primera descripción de HTML disponible públicamente fue un documento llamado HTML Tags (Etiquetas HTML), publicado por primera vez en Internet por Tim Berners-Lee en 1991.1 2 Describe 22 elementos comprendiendo el diseño inicial y relativamente simple de HTML. Trece de estos elementos todavía existen en HTML 4.3
HTTP
El protocolo de transferencia de hipertexto (HTTP, HyperText Transfer Protocol) es el protocolo usado en cada transacción de la Web (WWW). HTTP fue desarrollado por el consorcio W3C y la IETF, colaboración que culminó en 1999 con la publicación de una serie de RFC, siendo el más importante de ellos el RFC 2616, que especifica la versión 1.1.
HTTP
Define la sintaxis y la semántica que utilizan los elementos software de la arquitectura web (clientes, servidores, proxies) para comunicarse. Es un protocolo orientado a transacciones y sigue el esquema petición-respuesta entre un cliente y un servidor. Al cliente que efectúa la petición (un navegador o un spider) se lo conoce como "user agent" (agente del usuario). A la información transmitida se la llama recurso y se la identifica mediante un URL. Los recursos pueden ser archivos, el resultado de la ejecución de un programa, una consulta a una base de datos, la traducción automática de un documento, etc.
HTTP es un protocolo sin estado, es decir, que no guarda ninguna información sobre conexiones anteriores. El desarrollo de aplicaciones web necesita frecuentemente mantener estado. Para esto se usan las cookies, que es información que un servidor puede almacenar en el sistema cliente. Esto le permite a las aplicaciones web instituir la noción de "sesión", y también permite rastrear usuarios ya que las cookies pueden guardarse en el cliente por tiempo indeterminado.

Historia del Protocolo TCP/IP
La Familia de Protocolos de Internet fueron el resultado del trabajo llevado a cabo por la Agencia de Investigación de Proyectos Avanzados de Defensa (DARPA por sus siglas en inglés) a principios de los 70. Después de la construcción de la pionera ARPANET en 1969 DARPA comenzó a trabajar en un gran número de tecnologías de transmisión de datos. En 1972, Robert E. Kahn fue contratado por la Oficina de Técnicas de Procesamiento de Información de DARPA, donde trabajo en la comunicación de paquetes por satélite y por ondas de radio, reconoció el importante valor de la comunicación de estas dos formas. En la primavera de 1973, Vint Cerf, desarrollador del protocolo de ARPANET, Network Control Program(NPC) se unió a Kahn con el objetivo de crear una arquitectura abierta de interconexión y diseñar así la nueva generación de protocolos de ARPANET.Para el verano de 1973, Kahn y Cerf habian conseguido una remodelación fundamental, donde las diferencias entre los protocolos de red se ocultaban usando un Protocolo de comunicaciones y además, la red dejaba de ser responsable de la fiabilidad de la comunicación, como pasaba en ARPANET , era el host el responsable. Cerf reconoció el mérito de Hubert Zimmerman y Louis Pouzin, creadores de la red CYCLADES, ya que su trabajo estuvo muy influenciado por el diseño de esta red.Con el papel que realizaban las redes en el proceso de comunicación reducido al mínimo, se convirtió en una posibilidad real comunicar redes diferentes, sin importar las características que estas tuvieran. Hay un dicho popular sobre el protocolo TCP/IP, que fue el producto final desarrollado por Cerf y Kahn, que dice que este protocolo acabara funcionando incluso entre "dos latas unidas por un cordón". De hecho hay hasta una implementación usando palomas mensajeras, IP sobre palomas mensajeras, que esta documentado en RFC 1149. 1 .2Un ordenador denominado router (un nombre que fue después cambiado a gateaway, puerta de enlace, para evitar confusiones con otros tipos de Puerta de enlace) esta dotado con una interfaz para cada red, y envía Datagrama de ida y vuelta entre ellos. Los requisitos para estor routers están definidos en (Request for Comments 1812). 3Esta idea fue llevada a la práctica de una forma mas detallada por el grupo de investigación que Cerf tenía en Stanford durante el periodo de 1973 a 1974, dando como resultado la primera especificación TCP (Request for Comments 675) 4 Entonces DARPA fue contratada por BBN Technologies, la Universidad de Stanford, y la University College de Londres para desarrollar versiones operacionales del protocolo en diferentes plataformas de hardware. Se desarrollaron así cuatro versiones diferentes: TCP v1, TCP v2, una tercera dividida en dos TCP v3 y IP v3 en la primavera de 1978, y después se estabilizó la versión TCP/IP v4 — el protocolo estándar que todavía se emplea en Internet actualmenteEn 1975, se realizó la primera prueba de comunicación entre dos redes con protocolos TCP/IP entre la Universidad de Stanford y la University College de Londres(UCL). En 1977, se realizó otra prueba de comunicación con un protocolo TCP/IP entre tres redes distintas con ubicaciones en Estados Unidos, Reino Unido y Noruega. Varios prototipos diferentes de protocolos TCP/IP se desarrollaron en múltiples centros de investigación entre los años 1978 y 1983. La migración completa de la red ARPANET al protocolo TCP/IP concluyó oficialmente el día 1 de enero de 1983 cuando los protocolos fueron activados permanentemente.5En marzo de 1982, el Departamento de Defensa de los Estados Unidos declaró al protocolo TCP/IP el estándar para las comunicaciones entre redes militares.6 En 1985, el Centro de Administración de Internet (Internet Architecture Board IAB por sus siglas en inglés) organizó un Taller de Trabajo de tres días de duración, al que asistieron 250 comerciales promocionando así el protocolo lo que contribuyó a un incremento de su uso comercial.Kahn y Cerf fuero premiados con la Medalla Presidencial de la Libertad el 9 de noviembre de 2005 por su contribución a la cultura Americana.

10.1 - El Número de Oro φ (fi)

Número áureo.
Una sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadas por el número áureo. La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.
El número áureo o de oro (también llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fídias), es el número irracional:

Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.
Definición.
Números
γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ

Binario
1,1001111000110111011...
Decimal
1,6180339887498948482...
Hexadecimal
1,9E3779B97F4A7C15F39...
Fracción continua


Algebraico


Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:

Para obtener el valor de a partir de esta razón considere lo siguiente:
Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:

Multiplicando ambos lados por x y reordenando:

Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dos soluciones de la ecuación son


La solución positiva es el valor del número áureo, y esto es una prueba formal de que el número áureo es irracional, ya que incluye la raíz de un número positivo.



Rectangulos aureos se pueden encontrar en las tarjetas de credito.



Tambien se encuentran en la naturaleza.



En la galaxia tambien se pueden encontrar.



EL NUMERO AUREO EN LAS MATEMATICAS

Propiedades y representaciones
Propiedades algebraicas
• Φ es el único número real positivo tal que:


La expresión anterior es fácil de comprobar:



• Φ posee además las siguientes propiedades:



Representación mediante raíces anidadas

Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1917.

videos de los numeros aureos

SERIE MAS POR MENOS


SERIE MAS POR MENOS 2


POTENCIAS DE 10

CURIOSIDADES MATEMATICAS
http://es.youtube.com/watch?v=9crkf8Cf_rs

6.1 - Poliedros. Sólidos Platónicos
6.2 - Fractales

GEOMETRIA
POLIEDRO
Un poliedro en el sentido dado por la Geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas que encierran un volumen finito.
Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el polígono es el semejante topológico de dos dimensiones del poliedro; y el polícoro el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos; por lo que podemos definir un poliedro como un politopo tridimensional.
POLIEDRO

Sólidos platónicos
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Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos; son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.
Reciben estos nombres en honor del filósofo griego Platón (ca. 427 adC/428 adC – 347 adC), al que se atribuye haberlos estudiado en primera instancia.
Esta lista es exhaustiva, ya que es geométricamente imposible construir otro sólido diferente de los anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad.
SOLIDOS PLATONICOS


FRACTALES
Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.[1] El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.
No nos basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.
Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras[3] o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.
FRACTALES

Aleksandr Ródchenko

Aleksandr Mijáilovich Ródchenko (ruso: Александр Михайлович Родченкo; San Petersburgo, 5 de diciembre de 1891 - Moscú; 3 de diciembre de 1956), escultor, pintor, diseñador gráfico y fotógrafo ruso, fue uno de los artistas más polifacéticos de la Rusia de los años veinte y treinta.
Obra
De 1918 a 1921, Ródchenko, bajo influencia de Malévich y Tatlin, creaba series de premisas formales, como la superficie plana, la factura, la línea, la mancha, y también bajo el influjo de la revolución bolchevique, pues su obra tenía como objetivo una sociedad ordenada.

Ródchenko se hace famoso en los debates artísticos, de donde surge el Movimiento Constructivista, el artista se convierte en un ingeniero visual.
La nueva política económica provocó que la avant-garde perdiera el privilegio artístico, teniendo que competir contra otros grupos artísticos. En 1923, deciden afrontar esta pérdida de privilegio fundando el Frente de Artistas de Izquierda, también llamado LEF (Lévyi Front iskusstv). Ródchenko contribuyó en este grupo tanto teóricamente (escribiendo artículos), como prácticamente (realizando portadas para las revistas del grup.
Alexander Rodchenko



Una pieza es teselante cuando es posible acoplarla entre sí con otras idénticas a ella sin huecos ni fisuras hasta recubrir por completo el plano. La configuración que en tal caso se obtiene recibe el nombre de mosaico o teselación.

Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, etc... El artista holandés M.C. Escher se divirtió teselando el plano con figuras de distintas formas, que recuerdan pájaros, peces, animales....

Como es fácil de imaginar, la diversidad de las formas de las piezas teselantes es infinita. Los matemáticos y en particular los geómetras se han interesado especialmente por las teselaciones poligonales; incluso las más sencillas de estas plantean problemas colosales.

Cuando todos los polígonos de la teselación son regulares e iguales entre sí, se dice que la teselación es regular.

Ahora bien, sólo existen tres teselaciones o mosaicos regulares: la malla de triángulos equiláteros, el reticulado cuadrado como el del tablero de ajedrez y la configuración hexagonal, como la de los paneles.

SIMETRÍA:
La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistema, ecuaciones, y otros objetos materiales o entidades abstractas.

La simetría es: La cualidad, característica que tiene un cuerpo con alguna proporcionalidad de REFERENCIA ESPACIAL

En condiciones formales, decimos que un objeto es simétrico en lo que concierne a una operación matemática dada, si, cuando aplicado al objeto, esta operación no cambia el objeto o su aspecto. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa). En la geometría 2D las clases principales de simetría de interés son las que conciernen a las isometrías de un espacio euclídeo: traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones que se deslizan.

La simetría también puede ser encontrado en organismos vivos.

EL HUESO NAZARÍ:
El hueso nazarí es un polígono cóncavo de doce lados, se obtiene a partir de un cuadrado en el que se recortan dos trapecios de dos lados opuestos y se colocan mediante giros en los otros dos lados también opuestos. Como en todos los polígonos nazaríes se conserva el área del polígono inicial.

LA PAJARITA NAZARÍ:

Es, tal vez, el más conocido de los polígonos nazaríes, curiosamente esta forma está delimitada al igual que el pétalo, por arcos de circunferencia en vez de por segmentos rectos como un polígono convencional.
No nos ha llegado información de cómo los maestros nazaríes trazaban este polígono, pero los matemáticos han encontrado varias formas de construirlo, una de ellas es a partir de un triángulo equilátero, en el que se recortan en cada lado un segmento circular para colocarlo en el mismo lado mediante un giro de 180º.
Se pueden ver mosaicos generados por pajaritas multicolores en la Alhambra y en el Alcázar de Sevilla alternando el blanco y negro.

GRUPOS DE SIMETRÍA:
El grupo de simetría es un grupo de operaciones o transformaciones geométricas que deja invariante cierta entidad geométrica o entidad física. El concepto es importante tanto en geometría, como en mecánica lagrangiana y teoría cuántica de campos.

El grupo de transformaciones que dejan invariante una figura plana sería el conjunto de todos los movimientos que dejarían invariante a dicha figura, y contiene al menos el movimiento identidad.

Un conjunto de puntos de un plano se dice que es invariante por un movimiento cuando mediante dicho movimiento de transformación se obtiene el mismo conjunto. Por ejemplo un triángulo equilátero puede ser girado 120, 240 o 360 grados, obteniéndose el mismo triángulo.

Maurits Cornelis Escher, más conocido como M. C. Escher (Leeuwarden Países Bajos, 17 de junio de 1898 - Baarn Holanda, 27 de marzo de 1972), artista holandés, conocido por sus grabados en madera, xilografías y litografías que tratan sobre figuras imposibles, teselaciones y mundos imaginarios.

Su obra experimenta con diversos métodos de representar (en dibujos de 2 ó 3 dimensiones) espacios paradójicos que desafían a los modos habituales de representación.
Maurits Cornelis Escher

7.1 - Hoja de Problemas 1.2
7.2 - Hoja de Problemas 1.3
7.3 - Hoja de Problemas 2.1

1.2
1) Coloca diez soldaditos sobre una mesa de modo que haya cinco filas de cuatro soldaditos.














2) ¿Cuántos 9 se utilizan para escribir todos los números del 0 300?

Del 0 al 100 hay 20 nueves, entonces 20x3=60 nueves.

3) Quita 8 pasillos de la figura que tiene 24.a)

a)Quita 8 para que queden 5 cuadrados.

b) Quita 8 para que queden 4 cuadrados.

c) Quita 8 para que queden 2 cuadrados

4) El producto de las edades de tres personas es 390 ¿Cuáles son dichas edades?

-Máximo 120 años. -Mínimo 1 año.
1(2 . 3). 5. 13\6, 5, 13= 241. 2(3 . 5 ) 13\ 2, 15 , 131. 2. 3. (5. 13)\2, 3, 651 (2 . 3) . (5 . 13)\1, 6, 651. 2. (3 . 5).13\1, 15, 261 2. 3. 5. 13\1, 10, 391. (2. 3 .5) .13\1, 30, 131. 2. 3. 5. 13\1, 5, 781.(1. 2. 3. 5). 13\1, 30, 131. 2. 3. 5.13\2, 5, 391. 2. 3. 5. 13\3, 5, 261. 2. 3. 5. 13\10, 3, 13


5) Sitúa doce soldaditos sobre una mesa de modo que haya seis filas de cuatro soldaditos.












6) Cuatro vacas suizas y tres autóctonas dan tanta leche en cinco días como tres vacas suizas y cinco autóctonas en cuatro días. ¿Que vaca es mejor lechera, la suiza o la autóctona?


-4 S + 3A en cinco días=3S + 5A(4S + 3A)/5= es lo que dan en un día.(3S +5A)/4= es lo que dan en un día.16S + 12A=15S + 25A16S - 15S = 25A - 12A1S = 8A -Da más leche una vaca suiza.


7) El primer digito de un número de seis cifras es 1. Si se mueve al otro extremo, a la derecha, manteniendo el orden del resto de las cifras, el nuevo número es tres veces el primero. ¿Cuál es el número original?

-X = 1 . a . b . c . d . ea . b . c . d . e . 1= 3xX . (100.000) 10 + 1= 3x10X - 1000.000 + 1 = 3x7X = 999.999/7 = 142.857


8) Un amigo le dice al otro:- Tengo tres hijas, el producto de sus edades es 36 y su suma coincide con el número de esta casa.- No puedo averiguar las edades, responde el amigo.- ¡Ah! Es cierto. La mayor toca el piano.- Ya sé las edades de tus hijas.¿Cuáles son?

-362 -182 -093 -033 -01-. 36 = 2^2 . 3^2 = 2 . 2 . 3 . 31 . (2 . 2) . (3 . 3)\ 1 , 4 , 9 \ 1 + 4 + 9 = 141 . 2 . (2 . 3) . 3 \1 , 6 , 6\ 1 + 6 + 6 = 13(1 . 2) . (2 . 3) . 3 \ 2 , 6 , 3\2 + 6 + 3 = 11(1 . 2) . 2 . (3 . 3)\ 2 , 2 , 9 \ 2 + 2 + 9 = 131 . (2 . 2) . 3 . 3 \ 3 , 4 , 3 = 3 + 3 + 4 =101 . (2 . 2. 3) . 3 \12 + 3 + 1 =161 . 2 . (2 . 3 . 3) \ 1 , 2 , 18 = 18 + 2 + 1 = 211 . (2 . 2 . 3 . 3) \ 1 , 1 , 36 = 36 + 1 +1 = 381 , 6 , 6Coinciden en la suma2, 2, 9Sus edades son: 2, 2, 9


9) Cambiando solo tres cifras de lugar, has de conseguir invertir el triangulo, poniendo la base arriba y el vértice abajo.










10) TRES CABALLEROS CON SUS ESCUDEROS. Tres caballeros, cada uno con su escudero, se reunieron para cruzar un río. Encontraron una barca pequeña de dos plazas. Pero surgió una dificultad: todos los escuderos se niegan a permanecer con caballeros desconocidos sin la presencia de su amo. No valieron amenazas. Los testarudos escuderos se mantuvieron en lo suyo. Las seis personas a la otra orilla cumpliendo la condición.¿Cómo lo hicieron?

1.3
1) ¿De cuántas formas diferentes se pueden juntar 8€ utilizando solo monedas de 2€, 1€ y 0.50 €?

-2·3+1+0.50·2=8€
3·2+0.50·2+1=8€
0.50·2+1+3·2=8€
2+0.50·2+1+2·2=8€
2·3+0.50·2+1=8€

2) Un motorista sale de su casa para acudir a una cita. Se da cuenta de que si viaja a 60 km/h llegará un cuarto de hora tarde, pero si lo hace a 100 km/h llegará un cuarto de hora antes. ¿A qué distancia está su destino?



1/4 100 = 25 Km 100-25 = 75 Km/h
1/4 60 = 15 Km 60 + 15 = 75 Km/h

S = V x T
75 x 1
100 x 3/4
60 x 5/4


3) Si los miembros de un grupo bailan de dos en dos, sobra uno. Si lo hacen de tres en tres, sobran dos, y si lo hacen de cinco en cinco también sobran dos.
¿Cuántas personas componen el grupo sabiendo que su número está comprendido entre 10 y 20? ¿Y si estuviera comprendido entre 30 y 50?
1=5:52=5+5:54=5-5:55=56=55:5-5=5+(5:5)7=5+5:5+58=5+5+5+5:59=5-5:5+510=5+511=55:512=55:5+5:513=55:5+(5+5):514=5-5:5+5+515=5+5+516=5+5+5+5:517=5+5+(5+5):5+518=5+5+5+(5+5+5):519=5x5-5:5-520=5x5-5111=555:5112=555:5+5:5113=555:5+(5+5):5114=555:5+(5+5+5):5115=555:5+5-5:5116=555:5+5117=555:5+55:5-5=555:5+5+5:5118=555:5+5+5:5+5119=555:5+5+(5+5+5)/5120=5.5.5-5121=5.5.5-5+5:5122=5.5.5-(5+5+5)/5123=5.5.5-(5+5)/5124=5.5.5.5:5125=5.5.5500=555-551000=(5555-555)/53000=(5+5+5)/5x(5555-555)/5

4) Utilizando solamente la cifra 5 y las operaciones oportunas se puede obtener cualquier número.
Por ejemplo, para obtener 6 podemos hacer:
55: 5 – 5 = 6
Busca la manera de obtener con la mínima cantidad de cincos:
a) Los veinte primeros números naturales.
b) Los números 111 y 125.
c) Los números 500, 1000 y 3000.


5) Un nenúfar, en un lago, dobla su tamaño todos los días. En un mes cubre todo el lago. ¿Cuánto tiempo tardarán dos nenúfares en cubrir todo el lago?
-La mitad, dado que un solo nenúfar tarda solo un mes, dos nenúfares tardaran solo la mitad.


6) ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones? Razona tus respuestas.
a) La suma de dos números consecutivos no es múltiplo de dos.
b) La suma de dos impares consecutivos no es múltiplo de cuatro.
c) La suma de tres números naturales consecutivos es múltiplo de tres.

a) Verdadera, porque la suma de dos números consecutivos no pueden ser, porque sumas un número par con otro impar.
b)Verdadera, porque 2X + 1 que es impar y el siguiente impar es 2X +1+2= 2X+3 la suma de los dos números es 2X+1+2X+3= 4X+4 y es multiplo de 4.
c) Verdadera, porque los tres números consecutivos son X, X+1, X+2 y sumados dán X+X+1+X+2=3X+3 que es múltiplo de 3.
7) ¿Cuántos capicúas existen de cuatro cifras en los que las dos cifras extremas suman lo mismo que las dos centrales?
-Existen 9: 1111-2222-3333-4444-5555-6666-7777-8888-9999


8) ¿Cuántos tramos de carretera son necesarios para comunicar cuatro ciudades de forma que desde cada una se pueda llegar a cualquier otra sin pasar por una tercera? ¿Y para comunicar cinco ciudades?
¿Y para comunicar n ciudades?

-a)Para 4 ciudades son 6 carreteras.
b)Para 5 ciudades son 8 carreteras

9) Un grupo de amigos va a comer a un restaurante chino. Cada dos comparten un plato de arroz, cada 3 uno de salsa y cada cuatro uno de carne. En total se sirvieron 65 platos. ¿Cuántos amigos fueron a comer?



10) ¿En cuantos ceros acaba el número 125!?
1!= 1
2!= 2x1
3!= 3x2x1
4!= 4x3x2x1
5!= 5x4x3x2x1
10!= 10x9x8...3x2x1
125!= 125x124x123...3x2x1

11) ¿Cuál es el último dígito de la expresión 2 (elevado a la 103) + 3?

2 (elevado a la 103) + 3
2 (elevado a la 0) = 1
2 (elevado a la 1) = 2
2 (elevado a la 2) = 4
2 (elevado a la 3) = 8
2 (elevado a la 4) = 16
2 (elevado a la 5) = 32
2 (elevado a la 6) = 64
2 (elevado a la 7) = 128
2 (elevado a la 8) = 256
2 (elevado a la 9) = 512
2 (elevado a la 10)= 1024
2 (elevado a la 11)= 2048

Terminaciones en: 2486


12) De los 30 alumnos y alumnas de una clase, 15 declaran ser aficionados al rock, y 13, al bacalao. Hay 6 de ellos que son aficionados a ambos ritmos musicales. ¿Cuántos no son aficionados ni a lo uno ni a lo otro?


2.1
1. Los tres condenados

Tres ladrones, que llamaremos A, B y C, fueron capturados mientras robaban en el palacio de un Gobernador despótico, y condenados a muerte por él mismo.

Antes de cumplirse la sentencia, el Gobernador se arrepintió de su severidad, y decidió indultar a uno de los tres presos. Para procurar que este beneficio recayese en el más inteligente de los tres condenados, dispuso lo siguiente:

A la vista de los presos mostró tres tiras de paño blanca y dos tiras negras. Después ordenó que a la espalda de cada preso por separado se colgase una de estas cinco tiras. Hecho esto, permitió que los presos se viesen libremente entre sí, pero que no se comunicasen. Prometió la libertad al primero que supiese acertar, con razonamiento infalible, el color de su tira.
El preso A vio que las tiras de B y C eran blancas y a los pocos segundos pidió ser llevado ante el Gobernador, quien expuso la respuesta acertada.
¿Qué fue lo que dijo A y cómo lo razonó?

-Inmediatamente A sospechó que su tira era blanca porque en caso contrario B vería una cinta negra, la de A más una cinta blanca, la de C. Y por bruto que fuese B debería razonar así: Puesto que A la lleva negra y C no grita que está viendo dos negras (y que por tanto la suya es blanca) es que yo llevo la blanca. El hecho de que B no hubiese hecho esta deducción al instante, convenció enseguida a A de que su propia cinta era blanca. Y cómo necesitó unos segundos menos que B y que C para hacer este razonamiento (que B y C debieran haber hecho idénticamente) se demostró la mayor inteligencia de A que fue indultado

2. Triquis y traques


Los triquis y los traques son dos curiosas tribus que tienen esta notable particularidad: Que los hombres triquis mienten siempre, mientras que los traques no mienten jamás. Un explorador, que se deslizaba por el río a bordo de una barca conducida por un indígena, vio en la orilla a otro indígena que por su apariencia física se adivinaba de tribu contraria a la de su barquero. -¿De qué tribu eres tú?- interrogó el explorador al hombre de la orilla.
La respuesta se hizo confusa, por la distancia, y el explorador preguntó a su barquero: -¿Qué es lo que me ha respondido? -Dice que es un traque- contestó el barquero.
Se trata ahora de saber a qué tribu pertenecía cada uno de los indígenas.

La clave para averiguarlo es fijarse en que a la primera pregunta del explorador, todos deben contestar que son traques (si lo son, porque es verdad; si no lo son, para mentir). Luego el barquero reprodujo la respuesta exacta. Luego el barquero es traque y el de la orilla es triqui.
3-¿como ralizar un calendario con todos los dias del año dos cubos?

2.1 - Georg Cantor. Teoría de conjuntos
Georg Cantor
Fue un matemático alemán, inventor con Dedekind de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas y también fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales). Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño, o sea el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es innumerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es: existen, por lo tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los otros. Entre estos infinitos, los hay tan grandes que no tienen correspondencia en el mundo real, asimilado al espacio vectorial R³.
Teoría de conjuntos
La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
GEORG CANTOR